SLUČAJNI PROCESI M044 (2+2+0) - 6 ECTS bodova



CILJEVI KOLEGIJA Na uvodnom nivou upoznati studente s osnovnim idejama i primjerima slučajnih procesa s naglaskom na modele koji se koriste u praksi. Na vježbama studenti trebaju savladati odgovarajuće tehnike i osposobiti se za rješavanje konkretnih problema te izgrađivati vještinu prepoznavanja mogućih primjena obrađenih modela.
POTREBNO PREDZNANJE Vjerojatnost.
SADRŽAJ KOLEGIJA
OSNOVNI POJMOVI Pojam slučajnog procesa. Slučajni procesi u diskretnom i neprekidnom vremenu.
VAŽNI PRIMJERI Važni primjeri slučajnih procesa i njihova osnovna svojstva. Slučajni procesi sa stacionarnim i nezavisnim prirastima. Strogo i slabo stacionarni slučajni procesi. Procesi grananja (npr. jednostavan proces grananja (Galton-Watson)). Točkovni procesi (Poissonov proces). Brownovo gibanje i njegove transformacije. Markovljevi procesi.
MARTINGALI Martingali, supermartingali i submartingali u diskretnom vremenu. Svojstva martingala. Predvidivi procesi. Martingalna transformacija. Vremena zaustavljanja. Waldova jednakost. Važni primjeri (slučajna šetnja i kockarev kraj) i primjene u financijskoj matematici (modeliranje cijene dionice na financijskom tržištu u diskretnom vremenu).
MARKOVLJEVI LANCI Markovljevi lanci. Konstrukcija i osnovna svojstva. Važni primjeri u praksi. Prijelazne vjerojatnosti višeg reda. Chapman–Kolmogorovljeva jednakost. Dekompozicija skupa stanja (klase komuniciranja). Vjerojatnosti apsorpcije. Jako Markovljevo svojstvo. Povratnost i prolaznost. Kanonska dekompozicija (na povratne klase i prolazna stanja). Periodičnost. Stacionarna distribucija i invarijantna mjera. Granična distribucija. Ergodski teorem. Simulacije (Monte Carlo metoda).
IZVOĐENJE KOLEGIJA Izvedbeni program kolegija Slučajni procesi realizira se u drugom semestru Sveučilišnog diplomskog studija matematike, smjer financijska matematika i statistika, s fondom od 60 sati (tjedno 2 sata predavanja i 2 sata vježbi).
VREDNOVANJE ZNANJA
1. KOLOKVIJI I DOMAĆE ZADAĆE Tijekom semestra bit će organizirana dva kolokvija:

Kolokvij 1 - važni primjeri i klasični tipovi slučajnih procesa, martingali u diskretnom vremenu. (teorija i zadaci - 50 bodova).
Kolokvij 2 - Markovljevi lanci (teorija i zadaci - 50 bodova).

Barem 50 bodova ostvarenih na kolokvijima zamjena su za pismeni ispit i studentu osiguravaju pravo pristupanja usmenom ispitu najkasnije u zimskom ispitnom roku akademske godine 2013./2014. Ocjena za pristupanje usmenom ispitu formira se na temelju bodova ostvarenih na kolokvijima prema sljedećem kriteriju:
50-65: dovoljan(2); 66-80: dobar(3); 81-90: vrlo dobar(4); 91-100: izvrstan (5).
Također, tijekom semestra studenti mogu rješavati domaće zadaće koje će biti objavljene na web stranici kolegija ili zadane na nastavi, a samostalnost pri rješavanju zadaća bit će provjerena na usmenom ispitu i može utjecati na konačnu ocjenu iz kolegija.
2. PISMENI ISPIT Ukoliko student ne ostvari barem 50 bodova na kolokvijima pristupa pismenom ispitu. Na pismenom ispitu moguće je ostvariti najviše 100 bodova. Ocjena pismenog ispita formira prema sljedećem kriteriju:
50-65: dovoljan(2); 66-80: dobar(3); 81-90: vrlo dobar(4); 91-100: izvrstan (5).
Sa ostvarenih barem 50 bodova student ima pravo pristupiti usmenom ispitu u ispitnom roku (zimskom, ljetnom ili jesenskom) u kojem je položio pismeni ispit.
3. USMENI ISPIT Usmeni ispit je obavezan za sve studente. Na usmenom ispitu se, u ovisnosti od ocjene s kolokvija ili pismenog ispita te rezultata domaćih zadaća, formira konačna ocjena.



  1. R. Durrett - Essentials of Stochastic Processes , Springer Texts in Statistics, Springer, 1999.

DOPUNSKA LITERATURA



  1. S. I. Resnick - Adventures in Stochastic Processes , Birkhauser, Boston, 1992.
  2. S. M. Ross - Introduction to Probability Models , Academic Press, 2002.
  3. J. R. Norris - Markov Chains , Cambridge University Press, 1998.
  4. S. Karlin, H. M. Taylor - A first course in stochastic processes , Academic press, New York-London, 1975.
  5. G. Grimmett, D. Stirzaker - Probability and Random Processes , Clarendon Press, Oxford, 1992.
  6. P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch - Modelling extremal events. For insurance and Finance , Springer-Verlag, Berlin, 1997.
  7. P. Baldi, L. Mazliak, P. Priouret - Martingales and Markov Chains: Solved Exercises and Elements of Theory , Chapman and Hall, New York, 2002.
  8. L. E. Bain, M. Engelhardt - Introduction to Probability and Mathematical Statistics , BROOKS/COLE Cengage Learning, 2008.