UVOD U TEORIJU BROJEVA M049 (2+2+0) – 6 ECTS bodova



CILJEVI KOLEGIJA Teorija brojeva predstavlja najstariju i najrašireniju granu teorijske matematike, s brojnim primjenama. Cilj ovog predmeta je upoznati studente s osnovnim pojmovima, idejama i metodama elementarne teorije brojeva. Na predavanjima će se uvoditi i obrađivati osnovni pojmovi te pokazivati njihova svojstva, uz brojne primjere i ilustrativne primjene. Na vježbama će studenti svladavati tehnike rješavanja računskih i problemskih zadataka te se osposobiti za rješavanje konkretnih problema.
POTREBNO PREDZNANJE Elementarna matematika I i II.
SADRŽAJ KOLEGIJA
DJELJIVOST Djeljivost. Djeljivost cijelih brojeva i osnovna svojstva djeljivosti. Najveći zajednički djelitelj i Euklidov algoritam. Prosti brojevi. Broj i suma djelitelja cijelog broja. Fermatovi brojevi. Primjena djeljivosti na rješavanje diofantskih jednadžbi.
KONGRUENCIJE Osnovna svojstva i rješavanje osnovnih kongruencija. Eulerov, mali Fermatov i Wilsonov teorem. Kineski teorem o ostatcima.
PRIMJENA KONGRUENCIJA Primjena kongruencija. Linearne diofantske jednadžbe. Kriptosustavi. Transpozicijske šifre. RSA kriptosustav.
KVADRATNI OSTATCI Definicija i svojstva Legendreova simbola. Gaussov kvadratni zakon reciprociteta. Jacobijev simbol. Primjena na rješavanje diofantskih jednadžbi.
GAUSSOVI CIJELI BROJEVI Norma i djeljivost Gaussovih cijelih brojeva. Prikaz prirodnog broja u obliku sume dvaju kvadrata. Primjena Gaussovih cijelih brojeva u određivanju primitivnih Pitagorinih trojki.
PELLOVE I PELLOVSKE JEDNADŽBE Pojam Pellove jednadžbe i egzistencija rješenja. Dirichletov teorem o aproksimaciji. Generiranje rješenja Pellove jednadžbe i veza s verižnim razlomcima. Kriteriji rješivosti nekih pellovskih jednadžbi i algoritmi za njihovo rješavanje.
IZVOĐENJE NASTAVE I VREDNOVANJE ZNANJA Predavanja i vježbe su obavezne. Tijekom semestra putem kolokvija se provjerava znanje studenata. Uspješno položeni kolokviji zamjenjuju pismeni dio ispita. Nakon odslušanih predavanja i obavljenih vježbi polaže se ispit, koji se sastoji od pismenog i usmenog dijela.



  1. J. Stilwell, Elements of number theory, Springer, 2003.
  2. A. Dujella, Uvod u teoriju brojeva, Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet, Sveučilište u Zagrebu, 2002.

LITERATURA KOJA SE PREPORUČUJE


  1. T. Andreescu, D. Andrica, An Introduction to Diophantine Equations, GIL Publishing House, 2002.
  2. A. Dujella, Diofantske jednadžbe, Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet, Sveučilište u Zagrebu, 2007.
  3. K. H. Rosen, Elementary Number Theory and Its Applications, Addison-Wesley, Reading, 1993.
  4. N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Springer Verlag, 1994.
  5. A. Dujella, M. Maretić, Kriptografija, Element, 2007.
  6. G.A. Jones, J.M. Jones, Elementary Number Theory, Springer, 2003.
  7. L.N. Childs, A Concrete Introduction to Higher Algebra, Springer Verlag, 1995.