Konveksni skupovi
M143 (2+0+1) - 5 ECTS boda
OSNOVNE INFORMACIJE
Kolegij je izborni, a izvodi se u ljetnom semestru treće godine sveučilišnog preddiplomskog studija matematike. Cilj kolegija je studente upoznati s osnovnim pojmovima i rezultatima iz teorije konveksnih skupova koji su osnova za mnoge druge predmete kao što su Linearno programiranje, Konveksne funkcije i Metode optimizacije.
Za praćenje sadržaja ovog kolegija nužna su predznanja iz linearne algebre, matematičke analize i topologije. Linearna je algebra važna jer ćemo proučavati konveksne podskupove n-dimenzionalnog euklidskog prostora R^n. Topološki pojmovi s kojima ćemo se najčešće susretati otvoreni su skupovi, zatvoreni skupovi i kompaktnost. Povremeno ćemo se morati pozivati na neprekidnost, konvergenciju nizova i još neke druge pojmove.
Sadržaj kolegija:
- Uvod. Motivirajući primjeri iz linearnog programiranja, teorije aproksimacija i matematičke statistike.
- Konveksni skupovi i geometrija. Pojam konveksnog skupa. Operacije s konveksnim skupovima. Konveksni konusi. Konveksni poliedri. Linearno programiranje (LP) i poliedri. Politopi. LP i politopi. Konveksna ljuska. LP i konveksna ljuska. Afina ljuska. Simpleksi. Konusna ljuska. LP i konusna ljuska. Carathéodoryjev teorem za konveksne skupove. Carathéodoryjev teorem za konveksne konuse.
- Konveksni skupovi i topologija. Relativni interior. Relativna granica.
- Projekcija i separacija. Projekcija točke na konveksni skup. Linearni problem najmanjih kvadrata. Potporna hiperravnina. Jaka i slaba separacija konveksnih skupova. Farkaševa lema.
- Reprezentacija konveksnog skupa. Ekstremalne stranice. Ekstremalne zrake. Ekstremalne točke. Recesivni konus. Teorem Minkowskog za kompaktne konveksne skupove. Politopi i poliedri.
| NASTAVNIK | KONZULTACIJE | |
|---|---|---|
| VODITELJ KOLEGIJA | prof.dr.sc. Dragan Jukić | nakon nastave ili po dogovoru. |
OSNOVNA LITERATURA
- D. Jukić,Konveksni skupovi, Sveucilište J.J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, 2021.
- G. Dahl, An Introduction to Convexity, University of Oslo, Oslo, 2010, available at
http://heim.ifi.uio.no/~geird/conv.pdf
DOPUNSKA LITERATURA
- R. T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, New York, 1997.
- J.-B. Hiriart-Urruty and C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I, Springer, 1993.
- 3 R. J. Vanderbei, Linear Proramming - Foundations and Extensions, Kluwer Academic Publ, 2001.
RASPORED PREDAVANJA I SEMINARA
Izvedbeni program kolegija Konveksni skupovi realizira se s fondom od 45 sati (tjedno 2 sata predavanja i 1 sat seminara). Pohađanje predavanja i seminara je obaveno.| TERMIN | PREDAVAONICA | |
|---|---|---|
| PREDAVANJA i SEMINARI |
PRAVILA POLAGANJA ISPITA
Nastava za ovaj predmet predviđena je u obliku predavanja i seminara. Svaki student tijekom semestra treba izraditi seminarski rad i izložiti ga pred drugim studentima. Uspješno izrađen seminarski rad utječe na konačnu ocjenu iz predmeta. Na kraju se polaže ispit koji se sastoji od pismenog i usmenog dijela.
PISMENI ISPIT
Uspješno izrađen seminarski rad zamjenjuje pismeni dio ispita. Pismeni dio ispita je obavezan za studente koji nisu uspješno izradili seminarski rad.
USMENI ISPIT
Na usmenom ispitu se, u ovisnosti od ocjene seminarskog rada, formira konačna ocjena.
NASTAVNI MATERIJALI
D. Jukić, Konveksni skupovi, Sveucilište J.J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, 2021.
OBAVIJESTI
You are not authorised to post comments.