Realna analiza

M094 (3+2+0) - 7 ECTS bodova

OSNOVNE INFORMACIJE

Kolegij Realna analiza izvodi se u zimskom semestru treće godine sveučilišnog preddiplomskog studija matematike i sveučilišnog preddiplomskog studija matematike i računarstva. Cilj kolegija je na matematički formalan način obraditi i produbiti materiju kolegija Diferencijalni račun i Integralni račun. 

Sadržaj kolegija:

• Osnove topologije. Euklidski prostor Rⁿ. Euklidska norma na Rⁿ. Ekvivalentne norme. Euklidska metrika na Rⁿ. Topologija na Rⁿ. Osnovni pojmovi o apstraktnim metričkim i topološkim prostorima (topološka struktura, zatvarač skupa, granica skupa, gomilište skupa, gust skup,
  relativna topologija).

• Nizovi. Nizovi realnih brojeva. Limes superior i limes inferior. Nizovi u Rⁿ. Podnizovi. Konvergentni nizovi. Bolzano-Weierstrassov teorem. Nizovi u metričkom i topološkom prostoru. O (ne) jedinstvenosti limesa niza u topološkom prostoru. Karakterizacija zatvorenih skupova i gomilišta pomoću nizova. Cauchyjev niz. Potpun metrički prostor.

• Kompaktnost. Kompaktnost u Rⁿ. Kompaktnost u metričkom prostoru. Lebesgueov broj pokrivača. Heine-Borelov teorem.

• Neprekidna preslikavanja. Cauchyjeva, Heineova i topološka definicija neprekidnosti vektorskih funkcija više varijabli. Svojstva neprekidnih preslikavanja. Povezani prostori i povezanost putevima. Neprekidne funkcije na kompaktu i neke primjene (Weierstrassov teorem, ekvivalentnost normi na Rⁿ itd). Uniformna neprekidnost. Lipschitzova preslikavanja. Banachov teorem o fiksnoj točki.

• Limes funkcije. Cauchyjeva, Heineova i topološka definicija limesa. Svojstva limesa funkcija.

 Microsoft Teams kod u akademskoj 2021./2022. godini: 2brwoqb

NASTAVA NA DALJINU DO USPOSTAVE REDOVNE NASTAVE

Dragi studenti,

tijekom izvanredne zdravstvene situacije nastavu iz Realne analize održavat će se ONLINE na sljedeći način:

• Nastavni materijali za kolegij Realna analiza nalaze se u udžbeniku D. Jukić, Realna analiza PDF

• Nastava (predavanja i vježbe) na daljinu izvodi se istim tempom kao uobičajena “živa” nastava:

1. predavanje: Euklidski prostor R^n. Unitarni prostori. Euklidska norma na R^n. Normirani prostori. Inducirana norma. Različite norme na R^n. Ekvivalentne norme. (str. 1-8)
2. predavanje: Euklidska metrika na R^n. Metrički prostori. Inducirana metrika. Ekvivalentne metrike. Udaljenost skupova u metričkom prostoru. Pseudometrika. (str. 9-16)
3. predavanje: Topološka struktura. Nutrina, nutrina skupa. (str. 17-23)
4. predavanje: Zatvoreni skupovi. Rub skupa. Gomilište skupa. Relativna topologija. Baza topologije (str. 23-30)

Zadaci za utvrđivanje gradiva i proširivanje znanja iz 1.-4. predavanja nalaze se na str. 31-38. Većina tih zadataka je već riješena ili su dane detaljne upute za njihovo rješavanje

      5. predavanje: Pojam niza. Nizovi u R. Nizovi u metričkom prostoru. (str. 39-43)

      6. predavanje: Nizovi u metričkom prostoru-nastavak. (str. 44-49)

Zadaci za utvrđivanje gradiva i proširivanje znanja iz 4. i 5. predavanja nalaze se na str. 50-51. Većina tih zadataka je već riješena ili su dane detaljne upute za njihovo rješavanje.

      7. predavanje: Konvergencija nizova funkcija (obična i uniformna). (str. 53-63, uključujući navedene zadatke) 

      8. predavanje: Potpuni metrički prostori (str. 65-70., uključujući navedene zadatke)

      9. predavanje: Kompaktnost. (str. 71-77, uključujući navedene zadatke)

    10. predavanje: Definicija neprekidnosg preslikavanja. Neka svojstva neprekidnih preslikavanja. (str. 79-86)

    11. predavanje: Neprekidnost vektorskih funkcija više varijabli. Uniformna neprekidnost. (str. 87-94)

    12. predavanje: Neprekidne funkcije na kompaktima. Neprekidnost i uniformna konvergencija. (str. 95-101)

Zadaci za utvrđivanje gradiva i proširivanje znanja iz 10.-12. predavanja nalaze se na str. 101-104. Većina tih zadataka je već riješena ili su dane detaljne upute za njihovo rješavanje.

    13. predavanje: Banachov teorem o fiksnoj točki (str. 105-111, , uključujući navedene zadatke)

    14. predavanje: Povezani prostori. Povezanost putevima. (str. 113-120, uključujući navedene zadatke)

    15. predavanje: Limes funkcije (str. 121-126, uključujući navedene zadatke)

• Izvedba: Studenti su obavezni samostalno detaljno proučiti gradivo na navedenim stranicama.

• Dodatni zadaci za vježbu bit će objavljeni na ovoj stranici.

• Kolokviji tijekom beskontaktne nastave pisat će se u unaprijed dogovorenom terminu koji će biti objavljen na ovoj stranici pod OBAVIJESTI. Na kolokvijima će biti teorija i zadaci.

• Važno: Redovito pratite ovu stranicu. Na njoj ćete naći sve potrebne informacije.

Ukoliko imate bilo kakvih nejasnoća ili pitanja, možete nas kontaktirati putem pitanja i odgovora na dnu ove web stranice.

D. Jukić

PRAVILA POLAGANJA ISPITA

Tijekom semestra održat će se dva kolokvija. Gradivo prvih sedam predavanja (str. 1-57 iz udžbenika D. Jukić, Realna analiza PDF) je pokriveno prvim kolokvijem, a gradivo preostalih 8 predavanja (str. 59-120 iz udžbenika  D. Jukić, Realna analiza PDF ) je pokriveno drugim kolokvijem. Kolokviji se sastoje od zadataka i teorijskih pitanja.

Studenti na kolokvijima mogu imati samo pribor za pisanje.

Broj mogućih bodova na svakom kolokviju je 100, dakle ukupno je moguće ostvariti do 200 bodova. U gradivo pojedinog kolokvija ulazi sve što se radilo na predavanjima i vježbama.

Studenti koji su:

1. izašli na sve kolokvije,
2. na svakom kolokviju postigli barem 45 bodova (od 100 mogućih) i
3. ukupno postigli barem 110 bodova (od 200 mogućih)

oslobađaju se pismenog dijela ispita.

Uspjeh na kolokvijima računa se prema sljedećoj tablici:

PISMENI ISPIT

Pismeni dio ispita je obvezan. Tijekom semestra studenti mogu polagati 2 kolokvija, koji zamjenjuju pismeni dio ispita. 

USMENI ISPIT

Usmeni ispit je obavezan za sve studente. Na usmenom ispitu se, u ovisnosti od ocjene s pismenog ispita, formira konačna ocjena.

NASTAVNI MATERIJALI

D. Jukić, Realna analiza, Osijek, 2020.

PRIMJERI KOLOKVIJA

• Prvi kolokvij (2020./2021.)
• Drugi kolokvij (2020./2021.)
• Prvi kolokvij (2019./2020.)
• Drugi kolokvij (2019./2020.)
• Treći kolokvij (2019./2020.)

PRIMJERI PISMENIH ISPITA

• Pismeni ispit (2021.)
• Pismeni ispit (2021.)

KORISNI LINKOVI

1. Š. Ungar, Matematička analiza 3, PMF - Matematički odjel, Zagreb, 1994.
2. Calculus reference 

OBAVIJESTI

• [10.10.2022.] Prvi kolokvij održat će se u četvrtak 8.12. u 15 sati u predavaonicama D1 i D3. Drugi kolokvij održat će se u ponedjeljak 30.01. u 10 sati u predavaonici 1.