Linearna algebra II

M087 (3+3+0) - 7 ECTS bodova

OSNOVNE INFORMACIJE

linalg wordcloud

Linearna algebra II izvodi se u ljetnom semestru prve godine sveučilišnog preddiplomskog studija Matematike i sveučilišnog preddiplomskog studija Matematike i računarstva. Cilj kolegija je studente upoznati s pojmovima i svojstvima vektorskih i unitarnih prostora, osnovnim svojstvima linearnih operatora nad konačnodimenzionalnim prostorima, skalarnim produktom i unitarnim prostorima.

Sadržaj kolegija možete dohvatiti na sljedećem linku (pdf).

Stranicu kolegija Linearna algebra II M019 možete dohvatiti na sljedećem linku (M019).

	NASTAVNIK	KONZULTACIJE
VODITELJ KOLEGIJA	izv.prof.dr.sc. Darija Marković	vrijeme konzultacija
ASISTENT	doc. dr. sc. Ivana Kuzmanović Ivičić	po dogovoru
DEMONSTRATOR	Dominik Mihalčić

OSNOVNA LITERATURA

D. Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, Zagreb, 2008.

LITERATURA KOJA SE PREPORUČUJE

S. Kurepa, Uvod u linearnu algebru, Školska knjiga, Zagreb, 1987.
S. Kurepa, Konačnodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb, 1967.
N. Bakić, A. Milas, Zbirka zadataka iz linearne algebre, PMF-Matematički odjel Sveučilišta u Zagrebu, 1995.
L. Čaklović, Zbirka zadataka iz linearne algebre, Školska knjiga, 1992.
K. Horvatić, Linearna algebra, Golden marketing, Tehnička knjiga, Zagreb, 2004.
G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2009.
J. Hefferon, Linear Algebra, http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/
S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer, 2009.
C. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2001.
N. Elezović, A. Aglić, Linearna algebra: zbirka zadataka, Element, Zagreb, 1999.
V. Proskurjakov, Problems in linear algebra, Mir, Moskva, 1978.
H. Kraljević, Vektorski prostori (recenzirani nastavni materijali dostupni na web stranici Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku), 2008.
R. Scitovski, Geometrija ravnine i prostora (recenzirani nastavni materijali dostupni na web stranici Odjela za matematiku, Sveučilište u Osijeku), 2011.
H. Anton, R. Rorres, Elementary linear algebra, John Wiley & Sons, Danvers, 2000.

RASPORED PREDAVANJA I VJEŽBI

Izvedbeni program kolegija Linearna algebra II realizira se s fondom od 90 sati (tjedno 3 sata predavanja i 3sata vježbi). Pohađanje predavanja i vježbi je obavezno.

	TERMIN		PREDAVAONICA
PREDAVANJA	Ponedjeljak	09:00-12:00	D-1
VJEŽBE - grupa A	Srijeda	8:00-11:00	D-37
VJEŽBE - grupa B	Srijeda	11:00-14:00	D-37
VJEŽBE - grupa C	Petak	8:00-11:00	D-3
DEMONSTRATURE

RASPORED STUDENATA PO GRUPAMA

Grupa A	PDS Matematika i računarstvo
Grupa B	PDS Matematika, studenti čija prezimena počinju slovima A -L
Grupa C	PDS Matematika, studenti čija prezimena počinju slovima M -Ž

PRAVILA POLAGANJA ISPITA

KOLOKVIJI

Tijekom semestra studenti mogu polagati 2 kolokvija koji zamjenjuju pismeni dio ispita. Kolokviji se pišu 2 puna sata. Na kolokvijima nije dozvoljena upotreba kalkulatora.

Da bi kolokvij zamijenio pismeni ispit, potrebno je na kolokvijima ostvariti ukupno najmanje 80 bodova.
Studenti koji su na jednom kolokviju ostvarili barem 40 bodova, a ukupno manje od 80 bodova, mogu izaći na popravni kolokvij.
Iznimno, na popravni kolokvij mogu izaći i studenti koji (iz opravdanih razloga) nisu pristupili nekom od kolokvija (bez obzira na broj bodova koji su ostvarili na kolokviju kojemu su prisustvovali).

PISMENI ISPIT

Pismeni ispit je obavezan za studente koji nisu uspješno položili kolokvije i nosi ukupno 100 bodova. Pismeni ispit piše se 2 puna sata. Na pismenom ispitu nije dozvoljena upotreba kalkulatora. Bodovni prag za polaganje pismenog ispita je 50 bodova.

USMENI ISPIT

Usmeni ispit je obavezan za sve studente. Na usmenom ispitu se, u ovisnosti od ocjene s pismenog ispita ili kolokvija, formira konačna ocjena.

NASTAVNI MATERIJALI

NASTAVNI MATERIJALI S PREDAVANJA

Naslov predavanja	Opis predavanja	Materijali
Predavanje 1	Pravac i ravnina u prostoru.	pdf tekst
Predavanje 2	Pojam vektorskog prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost.Linearna ljuska, Sustav izvodnica.	pdf tekst
Predavanje 3	Sustav izvodnica. Baza i dimenzija. Potprostor.	pdf tekst
Predavanje 4	Suma potprostora. Direktna suma. Direktni komplement. Kvocijentni skup.	pdf tekst
Predavanje 5	Linearni operatori. Motivacija, definicija, primjeri i osnovna svojstva. Zadavanje na bazi i proširenje po linearnosti. Slika i jezgra operatora. Teorem o rangu i defektu.	pdf tekst
Predavanje 6	Monomorfizam, epimorfizam i izomorfizam. Prostor linearnih operatora.	pdf tekst
Predavanje 7	Matrični zapis linearnog operatora.	pdf tekst
Predavanje 8	Matrični zapis linearnog operatora. Spektar operatora, svojstveni vektor, svojstveni potprostor. Svojstveni polinom.	pdf tekst
Predavanje 9	Svojstveni polinom. Dijagonalizacija operatora nad kompleksnim prostorom. Invarijantni potprostori. Hamilton-Cayley-jev teorem.	pdf tekst
Predavanje 10	Hamilton-Cayley-jev teorem. Minimalni polinom. Jordanova forma.	pdf tekst
Predavanje 11	Jordanova forma. Funkcija operatora.	pdf tekst
Predavanje 12	Unitarni prostori. Skalarni produkt. Norma. Ortogonalnost i ortonormiranost. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije.	pdf tekst
Predavanje 13	Ortogonalni komplement. QR dekompozicija. Unitarni operatori. Hermitski adjungirani operator.	pdf tekst
Predavanje 14	Unitarne i ortogonalne matrice. Hermitski operatori. Hermitski operatori. Hermitske matrice.	pdf tekst
Predavanje 15	Kvadratne forme. Krivulje i plohe drugog reda.	pdf tekst

NASTAVNI MATERIJALI S VJEŽBI

Naslov vježbe	Opis vježbe	Materijali
Vježbe 1	Pojam vektorskog prostora.	pdf
Vježbe 2	Baza i dimenzija: linearne kombinacije i nezavisnost.	pdf
Vježbe 3	Baza i dimenzija: redukcija i nadopunjavanje do baze.	pdf
Vježbe 4	Potprostor	pdf
Vježbe 5	Potprostor. Definicija i svojstva linearnih operatora.	pdf
Vježbe 6	Definicija i svojstva linearnih operatora. Slika i jezgra.	pdf
Vježbe 7	Slika i jezgra.	pdf
Vježbe 8	Prostor linearnih operatora. Matrični zapis linearnog operatora.	pdf
Vježbe 9	Matrica prijelaza. Spektar.	pdf
Vježbe 10	Spektar.	pdf
Vježbe 11	Spektar. Hamilton - Cayleyev teorem.	pdf
Vježbe 12	Minimalni polinom. Invarijantni potprostori.	pdf
Vježbe 13	Dijagonalizacija operatora nad kompleksnim prostorom. Jordanova forma operatora.	pdf
Vježbe 14	Skalarni produkt. Gram - Schmidtov postupak ortogonalizacije.	pdf
Vježbe 15	Ortogonalni komplement. QR dekompozicija. Operatori na unitarnim prostorima. Krivulje drugog reda.	pdf

PRIMJERI KOLOKVIJA

Akademska godina	1. kolokvij		2. kolokvij
2018./19.	A		A
2017./2018.	A	B	A	B

Akademska godina	Linearna algebra I (M018)	Linearna algebra II (M019)	Vektorski i unitarni prostori (M051)
2017./2018.	-	1. kolokvij, 2. kolokvij	1. kolokvij, 2. kolokvij, 3. kolokvij
2016./2017.	1. kolokvij	1. kolokvij, 2. kolokvij	1. kolokvij, 2. kolokvij, 3. kolokvij
2015./2016.	1. kolokvij	1. kolokvij, 2.kolokvij	1. kolokvij, 2. kolokvij, 3. kolokvij

REZULTATI KOLOKVIJA

Rezultati su vidljivi registriranim korisnicima.

PRIMJERI PISMENIH ISPITA
26. lipnja 2018
10. srpnja 2018

Linearna algebra I (M018)	Linearna algebra II (M019)	Vektorski i unitarni prostori (M051)
19. lipnja 2017.	10. srpnja 2017.	24. veljače 2017.
11. srpnja 2016.	26. lipnja 2017.	10. veljače 2017.
6. rujna 2016.	21. veljače 2017.	31. kolovoza 2016.

TERMINI PISMENIH ISPITA

Ispitni rok	Prvi rok	Drugi rok
ljetni	26.06.2018. u 9:00	10.07.2018. u 9:00
jesenski	04.09.2018. u 9:00	18.09.2018. u 9:00

OBAVIJESTI

Rezultati pismenog ispita održanog 8.7.2019. (vidljivi su registriranom korisnicima)
Studenti koji su kolokvirali pismeni dio ispita ili pismeni ispit položili na nekom od prethodnih rokova te planiraju pristupiti usmenom ispitu dužni su preko ISVU studomata prijaviti pismeni ispitni rok za prvi pismeni ispitni rok koji je prije usmenog ispita kojem planiraju pristupiti. Prijave putem maila neće se uzimati u obzir.
[5. 7. 2019.] Usmeni ispit održat će se u srijedu 10. srpnja u predavaonici 8 i u četvrtak 11. srpnja 2019. u predavaonici 7 u prizemlju. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta profesorice Marković najkasnije do 10. srpnja u 10 sati.
[26. 6. 2019.] Postavljena je lista s dodatnim terminima za petak 28. lipnja. Usmeni ispit održat će se u predavaonici 3 na prvom katu. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta profesorice Marković najkasnije do 27. lipnja u 13 sati.
[24. 6. 2019.] Usmeni ispit održat će se u četvrtak 27. lipnja 2019. u predavaonici 8 u prizemlju. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta profesorice Marković najkasnije do 26. lipnja u 17 sati.
Rezultati pismenog ispita održanog 21.6.2019. (vidljivi su registriranom korisnicima)
Popis studenata za popravni kolokvij
Studenti koji iz opravdanih razloga nisu pristupili nekom kolokviju i žele ga pisati kao popravni kolokvij, trebaju se najkasnije do utorka, 18.6. u 12h javiti na e-mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Potrebno je omogućiti JavaScript da je vidite.
[12.6.2019] Na 2. kolokviju studenti su po dvoranama raspoređeni na sljedeći način:
- D3: studenti čija prezimena počinju s A-Ć
- D2: studenti čija prezimena počinju s D-Ke
- D1: studenti čija prezimena počinju s Ko-R
- Predavaonica 37: studenti čija prezimena počinju sa S-Ž
[29.4.2019] Na 1. kolokviju studenti su po dvoranama raspoređeni na sljedeći način:
- Predavaonica 1: studenti čija prezimena počinju s A-Kn
- Predavaonica 37: studenti čija prezimena počinju s Ko-Plj
- Predavaonica 2: studenti čija prezimena počinju s Po-Ž
[28.3.2019.] Nadoknada vježbi održat će se u ponedjeljak, 1.4.2019. u D1 u sljedećim terminima: 12-13:30 grupe B i C na tjelesnom, 13:30-15:00 grupa A na tjelesnom
[21.2.2019.] Usmeni ispit održat će se 26. veljače 2019. s početkom u 14 sati u D6 za studente koji ispit polažu po novom programu i 27. veljače 2019. s početkom u 10 sati u D4 za studente koji ispit polažu po starom programu.
[21.2.2019.] Pismeni ispit je položila Babok Ema, 50 bodova, dovoljan (2). Ostali studenti nisu položili pismeni dio ispita. Uvidi će se održati 22.2. u 9:30h.
[7. 2. 2019.] Usmeni ispit održat će se u srijedu 13. veljače 2019. za studente koji ispit polažu po novom programu i 14. veljače 2019. za studente koji ispit polažu po starom programu u predavaonici 6 u prizemlju. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta profesorice Marković.
[7.2.2019.] Pismeni ispit nitko nije položio. Uvidi će se održati u ponedjeljak, 11.2. u 10:30h. Termin usmenog ispita će biti objavljn uskoro.
[5. 11. 2018.] Izvanredni termini usmenog ispit održat će se u ponedjeljak 12. studenog 2018. u Dv. 8 i u srijedu 14. studenog 2018. u Dv. 7. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta profesorice Marković najkasnije do ponedjeljka 12. studenog u 10 sati.
[18. 9. 2018.] Usmeni ispit održat će se u ponedjeljak 24. rujna 2018. u Dv. 8 s početkom u 10 sati. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta docentice Marković.
[18. 9. 2018.] Pismeni ispit 18.9. nitko nije položio. Za uvide se možete javiti na e mail: Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Potrebno je omogućiti JavaScript da je vidite. sutra od 9-12h ili doći u ponedjeljak, 24.9. u 13h na uvid u kabinet 14 (I kat).
[5. 9. 2018.] Usmeni ispit održat će se u ponedjeljak 10. rujna 2018. u Dv. 8 s početkom u 10 sati. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta docentice Marković.
[4.9.2018.] Pismeni ispit 4.9. nitko nije položio. Ispite možete pogledati u 5.9. u 10h ili 10.9. u 12h u kabinetu 14 (I kat).
[10. 7. 2018.] Usmeni ispit održat će se u ponedjeljak 16. srpnja 2018. s početkom u 9 sati. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta docentice Marković.
[10. 7. 2018.] Pismeni ispit 10. 7. nitko nije položio. Ispite možete pogledati u petak 13.07. u 8:30h u kabinetu 14.
[5. 7. 2018.] Usmeni ispit održat će se u utorak 10. srpnja 2018. u Dv. 7 (23) s početkom u 9 sati. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta docentice Marković najkasnije do ponedjeljka 9. srpnja u 12 sati.
[27. 6. 2018.] Usmeni ispit održat će se u srijedu 4. srpnja 2018. u Dv. 4 (32) s početkom u 9 sati. Studenti koji planiraju pristupiti ispitu dužni su potpisati se na listu koja se nalazi na oglasnoj ploči ispred kabineta docentice Marković najkasnije do utorka 3. srpnja u 12 sati.
[27.06.2018.] Pismeni ispit 26.06. nitko nije položio. Ispite možete pogledati u četvrtak, 28.06. u 11:15h.
[11.06.2018.] Konzultacije kod asistentice Ž. Salinger će se održati u utorak, 12.06. u 13h sati te u četvrtak, 14.06. u 15h u kabinetu 30.
[11.06.2018.] Konzultacije kod asistentice S. Miodragović će se održati u srijedu u 11:00h u kabinetu 14.
[29.05.2018.] (PDS Matematika) Posljednje vježbe za studente PDS Matematike održat će se u utorak, 05.06.2018. od 12 do 15h u D-2.
[21.05.2018.] (GRUPE B i C) Nadoknada termina vježbi od 31.05.2018. održat će se za studente:
- PDS Matematike i računarstva 22.05.2018. od 12 do 15h u P-36 (po novom D-3)
- PDS Matematike (grupa B) 23.05.2018. od 9 do 12h u P-23 (po novom D-7)
[09.05.2018.] (GRUPE B i C) Vježbe za grupe B i C će se sutra, 10.05.2018. održati zajedno u predavaonici P-22 s početkom u 9h.
[05.05.2018.] Postavljeni su rezultati prvog kolokvija. Uvid u kolokvije će se održati nakon vježbi za svaku grupu.
[28.04.2018.] (GRUPA A) Umjesto u ponedjeljak 30.04.2018, vježbe za grupu A održat će se u srijedu, 02.05.2018. od 10 do 13h u P36.
[24.04.2018.] Postavljen je raspored studenata po predavaonicama za 1. kolokvij. Mole se studenti da budu ispred predavaonice u koju su raspoređeni u 13:50 kako bi kolokvij mogli početi pisati točno u 14h.
[30.03.2018.] (GRUPA A) Vježbe će se održati u srijedu, 04.04.2018. od 10 do 13h u P-36.
[06.03.2018.] (GRUPA A) Nadoknada vježbi za grupu A održat će se u petak, 09.03.2018. od 12 do 15h u P-9.
[04.03.2018.] (GRUPA A) Zbog bolesti asistentice vježbe 05.03.2018. za grupu A neće se održati. Obavijest o nadoknadi bit će stavljena naknadno.