Dokaz ćemo napraviti matematičkom indukcijom po dimenziji n prostora Rn.
BAZA
Za n = 1 prema Propoziciji 2.4. niz (xk) ima monoton podniz (xuk), koji je prema prema Propoziciji 2.5. konvergentan.
PRETPOSTAVKA
Pretpostavimo da teorem vrijedi u Rn i dokažimo da tada vrijedi i u Rn+1.
KORAK
Neka je xk = (x1k, ... , xnk, xn+1k), k ∈ N, omeden niz u Rn+1. Tada je x*k = (x1k, ... , xnk), k ∈ N, omeden niz u Rn, pa po induktivnoj pretpostavci ima konvergentan podniz. Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je (x*k) konvergentan niz. Na taj način ništa ne gubimo, a daljnji zapisi postaju jednostavniji. Nadalje, niz (xn+1k) je omeden, ali on ne mora biti konvergentan. Prema već dokazanom slučaju n=1 on ima konvergentan podniz (xn+1uk). Kako je prema Propoziciji 2.14. podniz konvergentnog niza i sam konvergentan, to je (x*uk) konvergentan niz u Rn. Prema teoremu 2.16. tada je konvergentan i podniz (xuk ).
Propoziciji 2.4.
Svaki niz (xk) realnih brojeva ima monoton podniz
Propoziciji 2.5
Svaki monoton i omeden niz realnih brojeva (xk) je konvergentan.
Propoziciji 2.14.
Neka je (xk) niz u metričkom prostoru (X, d). Ako niz (xk)
konvergira prema točki x0 ∈ X, onda i svaki njegov podniz konvergira prema x0.
Teorem 2.16.
U euklidskom prostoru Rn niz (xk), xk = (x1k, ... , xnk), konvergira prema točki x0= (x10, ... , xn0) onda i samo onda ako xik konvergira u xi0 za svaki i = 1, .... , n.
Weierstrass
Weierstrass je rođen u Ostenfeldu, dijelu Ennigerloh, Vestfalske provincije.
Bio je sin Wilhelma Weierstrassa, državnog službenika, i Teodore Vonderfrost. Njegovo zanimanje za matematiku je počelo dok je pohađao gimnaziju u Paderbornu. Poslan je na sveučilište u Bonnu nakon mature radi pripreme za državno mjesto. Budući da su njegovi predmeti bili iz područja prava, ekonomije i financije, odmah je bio u sukobu sa svojim nadama da studira matematiku. Riješio je sukob tako što se slabo obazirao na planirani tijek studiranja, ali je nastavio sa učenjem matematike u slobodno vrijeme. Rezultat je bio napuštanje sveučilišta bez diplome. Nakon toga je studirao matematiku na sveučilištu Münster (koji je bio čak i u to vrijeme vrlo poznat po matematici), a njegov otac mu je omogućio mjesto u školi za učitelje u Münster. Poslije je dobio certifikat za predavanje u tom gradu. Tokom tog perioda studiranja, Weierstrass je pohađao Christoph Gudermannova predavanja i postao zainteresiran za eliptičke funkcije. 1843 predavao je u Deutsch-Krone u zapadnoj Prusiji a od 1848 predavao je u Lyceum Hosianum u Braunsberg. Osim matematike predavao je i fiziku, botaniku i tjelesni.
Nakon 1850 Weierstrass je patio od dugog perioda bolesti, ali je uspio izdavati radove koji su mu donjeli slavu i prepoznatljivost. Dobio je mjesto na tehničkom sveučilištu u Berlinu, onda znanom kao Gewerbeinstitut. Bio je nepokretan zadnje 3 godine svog života i umro je u Berlinu od upale pluća.