VJEROJATNOST

Promatrajući neki pokus (događaj) iz svakodnevnog života, često nas zanima kolika je vjerojatnost (šansa) da se dogodi neki određen događaj. Pokus je svaka realizacija unaprijed utvrđenih uvjeta, razlikujemo:

• deterministički pokus - ishod je unaprijed određen uvjetima pokusa i
• slučajan pokus - uvjeti pokusa ne određuju jednoznačno ishod pokusa.

Koncept vjerojatnosti se temelji na ideji odnosa dijela i cjeline. Prvo je potrebno definirati tu cjelinu, odnosno da bismo znali vjerojatnost da se dogodi ono što nas konkretno zanima, potrebno je znati i što se sve može dogoditi za naš pokus. Tako uz pokus vežemo skup svih mogučih ishoda, koji označavamo sa Ω i zove se prostor elementarnih događaja. Skup Ω je neprazan i sadrži sve što se može dogoditi u pokusu, tj. svakom ishodu pokusa odgovara točno jedan element skupa Ω i obrnuto. Elementi skupa Ω zovu se elementarni događaji, a svaki podskup od Ω naziva se događaj. Definirajmo sada vjerojatnost koja se temelji na osnosu dijela i cjeline:

Definicija:
Ako su svi ishodi u konačnom skupu elementarnih događaja jednako mogući, vjerojatnost da se dogodi događaj A Є Ω jednaka je kvocijentu broja elemenata događaja A i broja elemenata skupa Ω; tj.

gdje je k( ) oznaka za broj elemenata skupa, tj. kardinalni broj skupa.

Ovako definirano određivanje vjerojatnosti zvat ćemo klasičan pristup, a samu definiciju zvat ćemo definicija vjerojatnosti "a priori" ("već unaprijed"). Kod pokusa čiji ishodi nisu svi jednako mogući koristit ćemo statistički pristup. On se temelji na nezavisnom ponavljanju uvijek istog pokusa nekoliko puta i pri tome se vjerojatnost definira kao omjer broja povoljnih i broja nepovoljnih ishoda u danom broju ponavljanja. Uz to su usko vezani sljedeći pojmovi:

Definicija:
Pokus je ponovljen n puta. Ako se pri tome događaj A dogodio n_A puta, broj n_A zovemo frekvencija događaja A. Broj n_A/n zovemo relativna frekvencija događaja A.

Iz definicije frekvencije vidimo da vrijedi

Ponavljajući isti pokus puno puta, s povećanjem broja ponavljanja, uočavamo da se relativna frekvencija događaja stabilizira oko nekog broja. To svojstvo relativnih frekvencija zovemo statistička stabilnost relativnih frekvencija. Ako slučajan pokus ima svojstvo statističke stabilnosti relativnih frekvencija, tada se vjerojatnost proizvoljnog događaja A; vezanog uz taj pokus definira kao realan broj P(A) oko kojeg se grupiraju relativne frekvencije n_A/n tog događaja.
Klasični i statistički pristup ne daju nam općenitu definiciju vjerojatnosti, nego se oni promatraju kao povijesni pristupi u određivanju vjerojatnosti. Za aksiomatsku definiciju vjerojatnosti potrebno je još definirati pojam σ-algebre.

Definicija:
Neka je dan neprazan skup Ω. Familija F podskupova od Ω je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:

• Ø je u F
• ako je A Є F onda je i A^c Є F;
• ako je dana prebrojiva familija skupova (A_i, i Є N) iz F; onda F sadrži i njihovu uniju, tj.

Sada ćemo definirati vjerojatnost:

Definicija:
Neka je Ω neprazan skup elementarnih događaja i F σ-algebra događaja na njemu. Funkciju

P: F → R koja zadovoljava sljedeća tri svojstva zovemo vjerojatnost na Ω. Tražena svojstva su:

• nenegativnost vjerojatnosti: P(A) ≥ 0, za sve A Є F,
• normiranost vjerojatnosti: P(Ω) = 1,
• σ-aditivnost vjerojatnosti: Ako je dana prebrojiva familija međusobno disjunktnih skupova (A_i, i Є I) iz F, I ≤ N, onda vrijedi

Uređena trojka (Ω, F, P) se zove vjerojatnosni prostor. Ako je Ω konačan ili prebrojiv (diskretan) skup, onda govorimo o diskretnom vjerojatnosnom prostoru.

Promatrajuči neki slučajan pokus, često je nepotrebno proučavati cijeli skup elementarnih događaja. Skupovi elementarnih događaja mogu sadržavati razne objekte (brojeve, uređene parove, uređene n-torke, nizove brojeva, slova, nizove slova, itd.).

Definicija:
Neka je (Ω, F, P) bilo kakav vjerojatnosni prostor. Slučajna varijabla je svaka proizvoljna funkcija X definirana na Ω; koja zadovoljava svojstvo:

{ X ≤ x } Є F, za svaki x Є R

Neka je X slučajna varijabla koja poprima vrijednosti iz skupa R(X) = {x₁, x₂, ...} (slika slučajne varijable X) s pripadnim vjerojatnostima p_i = P(X = x_i); i = 1, 2, ..., takvima da vrijedi 0 ≤ p_i ≤ 1, i u sumi daju 1. Slučajnu varijablu X najčešće označavamo sa tablicom




Ta se tablica zove distribucija slučajne varijable X ili zakon razdiobe od X.

GEOMETRIJSKA VJEROJATNOST

Promotrimo segment [a, b] iz R, i pokus koji se sastoji od slučajnog odabira jedne točke ω iz segmenta [a, b]. Ako, uz segment [a, b], u obzir uzmemo bilo koji segment [c, d] koji je podskup od [a, b] možemo postaviti sljedeče pitanje: Kolika je vjerojatnost dogadaja A = {slučajno izabrana točka ω Є [a, b] pripada segmentu [c, d]}?
Prirodno je postaviti sljedeće pretpostavke:

• slučajno odabrana točka može biti bilo koja točka segmenta [a, b],
• vjerojatnost odabira točke ω iz segmenta [c, d] proporcionalna je duljini (d - c) tog segmenta i ne ovisi o njegovom položaju, tj.
  P(A) = k (d - c), (1) gdje je k koeficijent proporcionalnosti.

Nadalje nas zanima priroda koeficijenta proporcionalnosti k, tj. zanima nas je li on po svom iznosu takav da osigurava svojstvo 0 ≤ P(A) ≤ 1? Iz same formulacije problema jasno je da je prostor elementarnih dogadaja Ω = [a, b], tj. da je vjerojatnost dogadaja Ω = {slučajno odabrana točka pripada segmentu [a, b]} jednaka jedan. Prema izrazu (1) slijedi

1 = P(Ω) = k (b - a) (2) odnosno (3)


Iz izraza (1) i (3) sada slijedi (4)


Ako duljinu segmenta interpretiramo kao njegovu mjeru i označimo ju sa λ tada formula (4) poprima sljedeći oblik:



Sljedeća definicija ovo razmatranje poopćava sa skupa R na Rⁿ, n Є N:

Definicija:
Neka je prostor elementarnih dogadaja Ω ograničen podskup od Rⁿ koji je izmjeriv (u smislu da postoji njegova mjera λ(Ω) < ∞). Vjerojatnost proizvoljnog izmjerivog podskupa A od Ω dana je formulom:

Napomena:
Mjere proizvoljnih podskupova A od Rⁿ za različite n-ove su sljedeće:

• kada je A podskup od R → λ = duljina
• kada je A podskup od R² → λ = površina
• kada je A podskup od R³ → λ = volumen

na vrh