Bertrandov paradoks
Formulacija problema:
Kolika je vjerojatnost da duljina slučajno odabrane tetive kružnice bude veća od duljine stranice toj kružnici upisanog jednakostraničnog trokuta? Rješenje ovog problema ovisi o interpretaciji slučajnog odabira tetive kružnice.
Bertrand Arthur William Russell (18. svibnja 1872. - 2. veljače 1970.), 3. grof Russell, bio je engleski filozof, matematičar, logičar, povjesničar i društveni reformator. Godine 1950. dobio je Nobelovu nagradu za književnost. Njegovo prvo filozofsko zanimanje vezano je uz matematički prikaz filozofije, a iz te faze proizašlo je monumentalno djelo "Principia mathematica" nastalo u suradnji s A. N. Whiteheadom, koje je obojici autora donijelo svjetsku slavu i postalo ishodište novog smjera u filozofiji i matematici.

1. pristup: "SLUČAJNE KRAJNJE TOČKE"

Slučajno odaberemo točku T na kružnici i upišemo joj jednakostraničan trokut UTV s vrhom u T. Sada na kružnici odaberemo drugu točku T' i povucimo tetivu TT'. Uočimo sljedeće: ako točka T' leži na kružnom luku UV (čija je duljina jednaka trećini opsega kružnice), tetiva TT' dulja je od stranice upisanog jednakostraničnog trokuta; ako je tetiva TT' dulja od stranice upisanog jednakostraničnog trokuta, onda točka T' leži na kružnom luku UV. Vjerojatnost da je slučajno povučena tetiva kružnice dulja od stranice jednakostraničnog trokuta upisanog toj kružnici jednaka je kvocijentu duljine kružnog luka UV i opsega kružnice, tj. ta vjerojatnost iznosi 1/3.

2. pristup: "SLUČAJNA UDALJENOST OD SREDIŠTA KRUŽNICE"

Počnemo od kružnice sa upisanim jednakostraničnim trokutom. Slučajno odaberemo radijus te kružnice te trokut zarotiramo tako da jedna njegova stranica postane okomita na odabrani radijus. Sada odaberemo točku na radijusu i konstruiramo tetivu čije je polovište odabrana točka. Uočimo da će duljina tetive biti veća od duljine stranice kružnici upisanog jednakostraničnog trokuta ako je udaljenost tetive do središta S kružnice manja od polumjera tom trokutu upisane kružnice. Dakle, vjerojatnost da je tetiva kružnice dulja od stranice tom trokutu upisanog jednakostraničnog trokuta je 1/2.

3. pristup: "SLUČAJNO ODABRANO POLOVIŠTE TETIVE"

Izaberimo slučajnu točku unutar kruga omeđenog našom kružnicom i konstruirajmo tetivu kojoj je ta točka polovište. Uočimo: ako slučajno odabrana točka leži unutar jednakostraničnom trokutu upisanog kruga, tetiva čija je ta točka polovište dulja je od stranice početnoj kružnici upisanog jednakostraničnog trokuta; ako je tetiva kružnice dulja od stranice njoj upisanog jednakostraničnog trokuta, tada njezino polovište leži unutar tom trokutu upisanog kruga. Vjerojatnost da je tetiva kružnice dulja od stranice tom trokutu upisanog jednakostraničnog trokuta je 1/4.