\documentclass[twoside]{article}
\usepackage{latexsym,amsfonts,amssymb,amsmath,amsbsy}
\usepackage{graphics}
\usepackage[croatian]{babel}
\usepackage{color}
\input seteps
\input setbmp
\topmargin-1.2cm
\textheight=23cm
\textwidth=16cm
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\newtheorem{tm}{Teorem}
\newtheorem{kor}{Korolar}
\newtheorem{lema}{Lema}
\newtheorem{prop}{Propozicija}
\newtheorem{nap}{Primjedba}
\newtheorem{dfn}{Definicija}
\newtheorem{zad}{Zadatak}
\newtheorem{sem}{Seminar}
\newtheorem{pr}{Primjer}
\def\C{{\mathbb{C}}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\be{\begin{equation}}
\def\ee{\end{equation}}
\def\R{{\mathbb{R}}}
\def\Q{{\mathbb{Q}}}
\def\C{{\mathbb{C}}}
\def\N{{\mathbb{N}}}
\def\Z{{\mathbb{Z}}}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\input c:/pctexv4/amstex/cyracc.def
\font\tencyr=wncyr10 % wncyr10 se moze zamijeniti s drugim fontom. Vidi
                     % file c:\pctex32\amstex\userdoc.tex
\def\cyr{\tencyr\cyracc}


\pagestyle{myheadings}
\markboth{Newtonova metoda}{Newtonova metoda}
 
\begin{document}  
\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
Elektrotehni\v{c}ki fakultet\\[.5ex]
Sveu\v{c}ili\v{s}te u Osijeku\\[1ex]
Kneza Trpimira bb
\end{flushleft}
\begin{flushright}
Osijek, 14.\ sije\v{c}nja 2008.
\end{flushright}
\vspace*{1cm}

\begin{center}
{\sf Seminarski rad iz predmeta ``Matemati\v{c}ko programiranje''}\\[5ex]
{\large\bf Newtonova metoda\\ za rje\v{s}avanje nelinearne jednad\v{z}be $f(x)=0$}\\[1ex]
{\sc xx}\footnote{e-mail: {\tt xx}}, 
{\sc yy}\footnote{e-mail: {\tt yy}}
\end{center}
\vspace*{2cm}

\noindent
{\bf Sa\v{z}etak.} 
U ovom seminarskom radu razmatra se problem rjesavanja jednadzbe $f(x)=0$ 
uz primjenu Newtonove metode tangenti. Naveden je izvod rekurzivne formule
i dana se osnovna svojstva metode. Takodjer, metoda je ilustrirana na 
nekoliko primjera.
\bigskip

\noindent
{\bf Klju\v{c}ne rije\v{c}i:} Newtonova metoda, Rjesavanje jednadzbe
\bigskip

 
\noindent
{\bf Abstract.\ (Newton's method for solving a nonlinear equation $f(x)=0$)}  
\bigskip
% abstract je potrebno lektorirati

\noindent
{\bf Keywords:} Newton method, Solving equation
\bigskip


\vfill
{\sf 
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3cm}|p{3cm}|p{3cm}|}\hline
Datum predaje seminara &  Ocjena &  Datum ocjene & Potpis \\
\hline
&\vspace*{.7cm}&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\newpage


\baselineskip=16pt


\section{Uvod}





\section{Opis i svojstva Newtonove metode}

Zadana je funkcija $f:[a,b]\rightarrow\R$ za koju pretpostavljamo da je 
dvostruko neprekidno derivabilna na intervalu $[a,b]$. U cilju trazenja 
nultocke $x^*\in [a,b]$ najprije izaberemo pocetnu aprokisimaciju $x_0\in [a,b]$. 
U okolini tocke $x_0$ funkciju $f$ aproksimirat cemo linearnom funkcijom 
$\tilde{f}$ koju se moze dobiti razvojem funkcije $f$ u Taylorov red i 
zadrzavanjem na linearnom clanu
\begin{equation}\label{N1}
  \tilde{f}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).
\end{equation}
Umjesto rjesavanja jednadzbe $f(x)=0$, rjesavat cemo jednadzbu $\tilde{f}(x)=0$, 
a rjesenje ove jednadzbe oznacit cemo s $x_1$. Dobivamo
\begin{equation}\label{N2}
  x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}
\end{equation}

Ponavaljajuci ovu proceduru dobivamo rekurzivnu formulu poznatu pod nazivom 
Newtonova iterativna formula
\begin{equation}\label{N3}
  x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\quad n=0,1,\ldots.
\end{equation}
U literaturi (vidi primjerice \cite{Plato}) ova metoda moze se naci i pod imenom 
{\em Newton-Raphsonova} metoda. Rekurzivnom formulom (\ref{N3}) definiran je niz 
realnih brojeva $(x_n)$. Mogu se postaviti sljedeca pitanja:
\begin{itemize}
\item
je li niz $(x_n)$ konvergentan\,?

\item
ako je niz $(x_n)$ konvergentam, konvergira li prema $x^*$\,?

\item
kakva je brzina konvergencije\,?

\item
kako procijeniti pogesku $n$-te aproksimacije\,?
\end{itemize}

Odgovor na postavljena pitanja daje sljedeci teorem (dokaz se moze vidjeti u \cite{Plato}, 
\cite{Sci}, \cite{SB}).
\begin{tm}\label{T1}

\end{tm}

Iz navedenog {\em Teorema\,\ref{T1}} vidi se da funkcija $f$ mora biti dovoljno ``glatka" 
i da na rubovima intervala prima vrijednosti suprotnog predznaka. Tako\dj er, prva i druga 
derivacija funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ moraju imati stalan predznak. To istovremeno 
znaci da se prva derivacija ne ponistava na tom intervalu. {\em Teorem\,\ref{T1}} uci nas da 
pocetnu aproksimaciju $x_0$ biramo tako da vrijednost funkcije $f$ i njene druge derivacije 
bude istog znaka. Prema navedenom teoremu brzina Newtonove metode je kvadraticna, a ocjenu 
pogreske daje formula
\begin{equation}\label{N4}
   |x_n-x^*|\leq \frac{M_2}{2m_1}(x_n-x_{n-1})^2.
\end{equation}
Formula za ocjenu pogreske (\ref{N4}) sluzi kao kriterij za zaustavljanje iterativnog 
postupka. Za zadani $\varepsilon>0$ iterativni proces prekinut cemo u trenutku kada 
desna strana formule (\ref{N4}) postane manja od $\varepsilon$. Zbog tranzitivnosti znaka 
nejednakosti u tom trenutku je i apsolutna pogreska $n$-te aproksimacije manja od 
$\varepsilon$. 

Buduci da je Newtonova metoda lokalnog karaktera (sto se vidi iz {\em Teorema\,\ref{T1}})
pocetnu aproksimaciju $x_0$ potrebno je izabrati u blizini rjesenja $x^*$. U tu svrhu 
mozemo se posluziti grafickim mogucnostima programskog sustava {\em Mathematica}. 

Postoje brojne modifikacije Newtonove metode, kao sto su primjerice: metoda sekanti i 
regula falsi (vidi primjerice \cite{Cheney}, \cite{PlatoD}, \cite{Press}, \cite{Sci}).







\section{Numeri\v{c}ki eksperimenti}



% slika je napravljena u Mathematica, snimljena u eps formatu i dopunjena naredbom \put 
%\begin{figure}[h]
%\centerline{\scalebox{1}{\includegraphics{newton1.eps}}
%\put(-230,82){{\small $f(x)=e^{-x}+x^2-2$\hspace*{2cm}$x\mapsto e^{-x},%\quad x->\mapsto 2-x^2$}}
%}
%\caption{Lokalizacija nulto\v{c}aka}
%\end{figure}


{\small
\begin{verbatim}
In[1]:= 
\end{verbatim}
}



\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Jukic}
{\sc D.\,Juki\'c, R.\,Scitovski}, {\em Matematika I}, Odjel za matematiku, Sveu\v{c}ili\v{s}te u Osijeku, Osijek, 2000.


\bibitem{Cheney}
{\sc D.\,Kincaid,W.\,Cheney}, {\em Numerical Analysis}, Brooks/Cole Publishing Company, New  York, 1996.

\bibitem{Plato}
{\sc R.\,Plato}, {\em Concise Numerical Mathematics}, American Mathematical Society, Providence, 2003.

\bibitem{PlatoD}
{\sc R.\,Plato}, {\em Numerische Mathematk kompakte}, Vieweg Verlag, M\"unchen, 1962. {\tt http://www.ams.org/bookpages/gsm-57}

\bibitem{Press}
{\sc W.\,H.\,Press, B.\,P.\,Flannery, S.\,A.\,Teukolsky, W.\,T.\,Vetterling},
{\em Numerical Recipes}, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

\bibitem{Sci}
{\sc R.\,Scitovski}, {\em Numeri\v{c}ka matematika}, Odjel za matematiku, Sveu\v{c}ili\v{s}te u Osijeku, Osijek, 2000

\bibitem{Stoer}
{\sc J.\,Stoer}, {\em Numerische Mathematik 1}, 8.\ Auflage, Springer--Verlag, Berlin, 2002.

\bibitem{SB}
{\sc J.\,Stoer, R.\,Bulirsch}, {\em Introduction to Numerical Analysis}, 2nd Ed., Springer Verlag, New York, 1993.

\end{thebibliography}

\end{document}
